Жесткий стержень скользит в вертикальной стене
Опираясь своими концами на пол и в стену, по какой траектории движется стержень?
Введение
Рассмотрим задачу о жестком стержне, который скользит в вертикальной стене, опираясь своими концами на пол и в стену. Как изменяется траектория движения стержня при изменении его длины и угла наклона?
Анализ
Пусть длина стержня равна $L$, угол наклона к полу составляет $\theta$, коэффициент трения между стержнем и стеной равен $\mu$, масса стержня равна $m$, и ускорение свободного падения равно $g$.
Положение стержня в начальный момент времени определяется углом $\alpha$ между горизонтальной осью и линией, проходящей через центр масс стержня.
Введем обозначения для сил, действующих на стержень. Вертикальная составляющая силы тяжести равна $mg\cos\theta$, горизонтальная составляющая силы тяжести равна $mg\sin\theta$. Сила трения между стержнем и стеной равна $\mu N$, где $N$ – сила реакции стены на стержень.
Направим ось $x$ вдоль стены вправо, а ось $y$ вверх. Тогда уравнения движения стержня имеют вид:
$$\begin{cases} m \ddot{x} = -mg\sin\theta - \mu N \cos\theta \ m \ddot{y} = N-mg\cos\theta \end{cases}$$
Кроме того, для стержня должно выполняться условие жесткости:
$$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=L$$
Здесь $(x_1,y_1)$ и $(x_2,y_2)$ – координаты концов стержня.
Решение
Из уравнений движения стержня можно получить выражение для силы реакции стены на стержень:
$$N = \frac{mg\cos\theta + m\ddot{y}}{\cos\theta + \mu\sin\theta}$$
Подставим это выражение в уравнение для горизонтальной составляющей силы:
$$m \ddot{x} = -mg\sin\theta - \frac{\mu (mg\cos\theta + m\ddot{y})}{\cos\theta + \mu\sin\theta}$$
Учитывая условие жесткости стержня, получим следующую систему уравнений для определения координат $(x_1,y_1)$ и $(x_2,y_2)$:
$$\begin{cases} \frac{d}{dt}\left(\frac{\dot{x}_2-\dot{x}_1}{\sqrt{(\dot{x}_2-\dot{x}_1)^2+(\dot{y}_2-\dot{y}_1)^2}}\right)=\frac{\ddot{y}_1-\ddot{y}_2}{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}} \ \frac{d}{dt}\left(\frac{\dot{y}_2-\dot{y}_1}{\sqrt{(\dot{x}_2-\dot{x}_1)^2+(\dot{y}_2-\dot{y}_1)^2}}\right)=\frac{\ddot{x}_1-\ddot{x}_2}{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}} \ x_1 = x_2 - L\cos\alpha \ y_1 = y_2 + L\sin\alpha \ \cos\alpha = \frac{x_2-x_1}{L} \ \sin\alpha = \frac{y_1-y_2}{L} \end{cases}$$
Вывод
Таким образом, решив систему дифференциальных уравнений и учитывая условие жесткости стержня, можно определить траекторию движения жесткого стержня, скользящего в вертикальной стене. Решение задачи зависит от параметров стержня, таких как длина, угол наклона и коэффициент трения между стержнем и стеной.