Y = ln(x^3 + 2x): Найдите вторую производную функции
Для нахождения второй производной функции Y = ln(x^3 + 2x) нужно сначала найти первую производную и затем продифференцировать ее еще раз.
Нахождение первой производной
Чтобы найти первую производную функции Y, необходимо использовать правило дифференцирования логарифмических функций:
$$\frac{d}{dx}(\ln u) = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}$$
Применяя это правило к функции Y = ln(x^3 + 2x), получаем:
$$\frac{dY}{dx} = \frac{1}{x^3 + 2x} \cdot \frac{d}{dx}(x^3 + 2x)$$
$$\frac{dY}{dx} = \frac{1}{x^3 + 2x} \cdot (3x^2 + 2)$$
$$\frac{dY}{dx} = \frac{3x^2 + 2}{x^3 + 2x}$$
Нахождение второй производной
Для нахождения второй производной необходимо продифференцировать первую производную:
$$\frac{d^2Y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\frac{3x^2 + 2}{x^3 + 2x})$$
Применяя правило дифференцирования частного функций, получаем:
$$\frac{d^2Y}{dx^2} = \frac{(x^3 + 2x) \cdot \frac{d}{dx}(3x^2 + 2) - (3x^2 + 2) \cdot \frac{d}{dx}(x^3 + 2x)}{(x^3 + 2x)^2}$$
$$\frac{d^2Y}{dx^2} = \frac{(x^3 + 2x) \cdot 6x - (3x^2 + 2) \cdot (3x^2 + 2)}{(x^3 + 2x)^2}$$
$$\frac{d^2Y}{dx^2} = \frac{6x^4 + 12x^2 - 9x^4 - 12x^2 - 4}{(x^3 + 2x)^2}$$
$$\frac{d^2Y}{dx^2} = \frac{-3x^4 - 4}{(x^3 + 2x)^2}$$
Таким образом, вторая производная функции Y = ln(x^3 + 2x) равна:
$$\frac{d^2Y}{dx^2} = \frac{-3x^4 - 4}{(x^3 + 2x)^2}$$
Заключение
Мы нашли вторую производную функции Y = ln(x^3 + 2x), используя правила дифференцирования логарифмических функций и частных функций. Решение полное и подробное, что позволит читателю лучше понять процесс нахождения второй производной.