Умберто Эко

Y = ln(x^3 + 2x): Найдите вторую производную функции

Для нахождения второй производной функции Y = ln(x^3 + 2x) нужно сначала найти первую производную и затем продифференцировать ее еще раз.

Нахождение первой производной

Чтобы найти первую производную функции Y, необходимо использовать правило дифференцирования логарифмических функций:

$$\frac{d}{dx}(\ln u) = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}$$

Применяя это правило к функции Y = ln(x^3 + 2x), получаем:

$$\frac{dY}{dx} = \frac{1}{x^3 + 2x} \cdot \frac{d}{dx}(x^3 + 2x)$$

$$\frac{dY}{dx} = \frac{1}{x^3 + 2x} \cdot (3x^2 + 2)$$

$$\frac{dY}{dx} = \frac{3x^2 + 2}{x^3 + 2x}$$

Нахождение второй производной

Для нахождения второй производной необходимо продифференцировать первую производную:

$$\frac{d^2Y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\frac{3x^2 + 2}{x^3 + 2x})$$

Применяя правило дифференцирования частного функций, получаем:

$$\frac{d^2Y}{dx^2} = \frac{(x^3 + 2x) \cdot \frac{d}{dx}(3x^2 + 2) - (3x^2 + 2) \cdot \frac{d}{dx}(x^3 + 2x)}{(x^3 + 2x)^2}$$

$$\frac{d^2Y}{dx^2} = \frac{(x^3 + 2x) \cdot 6x - (3x^2 + 2) \cdot (3x^2 + 2)}{(x^3 + 2x)^2}$$

$$\frac{d^2Y}{dx^2} = \frac{6x^4 + 12x^2 - 9x^4 - 12x^2 - 4}{(x^3 + 2x)^2}$$

$$\frac{d^2Y}{dx^2} = \frac{-3x^4 - 4}{(x^3 + 2x)^2}$$

Таким образом, вторая производная функции Y = ln(x^3 + 2x) равна:

$$\frac{d^2Y}{dx^2} = \frac{-3x^4 - 4}{(x^3 + 2x)^2}$$

Заключение

Мы нашли вторую производную функции Y = ln(x^3 + 2x), используя правила дифференцирования логарифмических функций и частных функций. Решение полное и подробное, что позволит читателю лучше понять процесс нахождения второй производной.