Вычислите производную функции в точке:
Для того чтобы вычислить производную функции в точке, необходимо сначала выписать саму функцию и определить ее производную.
Производная функции – это ее изменение в зависимости от изменения аргумента. Формально производная функции f(x) определяется как предел отношения изменения функции Δy к изменению аргумента Δx при стремлении Δx к нулю:
f'(x) = lim Δx→0 (f(x + Δx) - f(x)) / Δx
Для того чтобы вычислить производную в точке, необходимо вычислить предел этой формулы при Δx, стремящемся к нулю, и подставить в этот предел значение точки, в которой нужно вычислить производную.
Пример: рассмотрим функцию f(x) = x^2 - 3x + 2 и точку x = 1. Чтобы вычислить производную в этой точке, необходимо вычислить предел от выражения (f(x + Δx) - f(x)) / Δx при Δx, стремящемся к нулю:
f'(1) = lim Δx→0 ((1 + Δx)^2 - 3(1 + Δx) + 2 - (1^2 - 3*1 + 2)) / Δx
f'(1) = lim Δx→0 (Δx^2 + 2Δx) / Δx
f'(1) = lim Δx→0 (Δx + 2)
Теперь подставим в этот предел Δx = 0 и получим ответ:
f'(1) = 0 + 2 = 2
Таким образом, производная функции f(x) = x^2 - 3x + 2 в точке x = 1 равна 2.