Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник

Допустим, у нас есть равносторонний треугольник со стороной 8 см, вписанный в окружность. Наша задача состоит в том, чтобы найти радиус этой окружности.

Решение

Для начала, вспомним некоторые свойства равностороннего треугольника:

Все его стороны имеют одинаковую длину.
Углы внутри равностороннего треугольника равны 60 градусов.

Также, мы знаем, что вписанный треугольник является равносторонним. Значит, все его внутренние углы также равны 60 градусов.

Давайте обратим внимание на правильный треугольник, образованный радиусом окружности, вписанной в треугольник.

Источник: Википедия

Мы можем заметить, что у нас есть два равнобедренных треугольника, образованных полурами окружности.

Согласно свойствам равнобедренного треугольника, угол между одной из оснований (сторон треугольника, соприкасающихся с окружностью) и центральным углом равен 90 градусам.

Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной радиусу окружности, и одной из катетов, равной половине стороны треугольника.

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти радиус окружности.

Пусть r - радиус окружности, а a - сторона треугольника.

Мы имеем следующее:

$a^2 = r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$

У нас есть значения стороны треугольника (a = 8 см), и мы хотим найти радиус (r).

Решим это уравнение:

$64 = r^2 + 16$

$r^2 = 64 - 16$

$r^2 = 48$

$r = \sqrt{48} \approx 6.93$

Таким образом, радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной 8 см, составляет приблизительно 6.93 см.

Заключение

Мы использовали свойства равностороннего треугольника и применили теорему Пифагора, чтобы найти радиус окружности, вписанной в треугольник со стороной 8 см. Получили результат, что радиус окружности составляет приблизительно 6.93 см.