Помогите с интегралом пожалуйста

Если вы столкнулись с интегралом, который не можете решить самостоятельно, не отчаивайтесь. Мы поможем вам разобраться с интегралом:

$$\int_{\ln3}^{\ln4}\int_{\frac{1}{2}}^{1}4ye^{2xy}dxdy$$

Первым шагом будет проинтегрировать выражение $4y$ по переменной $x$:

$$\int_{\ln3}^{\ln4}\left[2e^{2xy}\right]_{\frac{1}{2}}^{1};dy$$

Выражение в квадратных скобках можно упростить:

$$\int_{\ln3}^{\ln4}\left(2e^{2y}-2e^{y}\right);dy$$

Здесь мы используем формулу замены для интеграла:

$$\int_{a}^{b}f(x);dx=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(\varphi^{-1}(y))\frac{d}{dy}\varphi^{-1}(y);dy$$

В нашем случае $f(x)=4ye^{2xy}$, $\varphi(x)=x$ и $\varphi^{-1}(y)=y$. Тогда:

$$\int_{\ln3}^{\ln4}\left(2e^{2y}-2e^{y}\right);dy=\int_{2}^{4}\frac{2}{x}(2e^x-2e^{\frac{x}{2}});dx$$

Далее, используем метод интегрирования по частям для интеграла $\int\frac{2}{x}e^{2x};dx$.

Итоговый ответ:

$$\int_{2}^{4}\frac{2}{x}(2e^x-2e^{\frac{x}{2}});dx=-4e^{2}+8e-4\sqrt{e}+4\ln{2}$$

Таким образом, ответ на данный интеграл равен $-4e^{2}+8e-4\sqrt{e}+4\ln{2}$.