Помогите решить предел

Дан предел: $\lim\limits_{x\rightarrow 0} \tan{2x}\cdot \cot{4x}$

Чтобы решить этот предел, применим тригонометрические тождества. Во-первых, мы можем заменить $\cot{4x}$ на $\frac{1}{\tan{4x}}$, используя определение тангенса и котангенса:

$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \tan{2x}\cdot \frac{1}{\tan{4x}}$

Мы также можем использовать формулу двойного угла для тангенса:

$\tan{2x} = \frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}}$

Теперь мы можем заменить $\tan{2x}$ на это выражение и упростить:

$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}}\cdot \frac{1}{\tan{4x}}$

$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{2}{(1-\tan^2{x})\tan{4x}}$

Мы можем применить формулу двойного угла для тангенса еще раз:

$\tan{4x} = \frac{2\tan{2x}}{1-\tan^2{2x}}$

Заменив $\tan{2x}$ на это выражение, получаем:

$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{2}{(1-\tan^2{x})\cdot \frac{2\tan{2x}}{1-\tan^2{2x}}}$

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-\tan^2{2x}}{\tan^2{x}\cdot \tan{2x}}$

Теперь мы можем заменить $\tan{2x}$ на $\frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}}$:

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-\left(\frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}}\right)^2}{\tan^2{x}\cdot \frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}}}$

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-4\tan^2{x}}{\tan^3{x}-\tan^5{x}}$

Теперь мы можем применить правило Лопиталя для вычисления предела:

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{-8\tan{x}}{3\tan^2{x}-5\tan^4{x}}$

В итоге получаем ответ: $0$.