Помогите пожалуйста вычислить предел с помощью правила Лопиталя

Одним из основных инструментов вычисления пределов является правило Лопиталя. Оно применяется в случаях, когда определенный предел имеет неопределенную форму, например, когда числитель и знаменатель стремятся к нулю. Проводя вычисления с помощью правила Лопиталя, мы получаем новый предел, который может быть уже определен.

Формулировка правила Лопиталя

Правило Лопиталя позволяет вычислять пределы вида:

$$\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}$$

где $f(a) = g(a) = 0$ или $f(a) = \pm\infty$, $g(a) = \pm \infty$.

Если предел существует, то можно провести следующие вычисления:

$$\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

при условии, что существует предел правой и левой производных $f'(a)$, $g'(a)$, или пределы в каждой точке окрестности точки $a$.

Пример применения правила Лопиталя

Рассмотрим пример вычисления предела:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$$

Как мы знаем, при $x = 0$ числитель и знаменатель равны нулю, делимость на ноль запрещена. Мы можем воспользоваться правилом Лопиталя, применив его последовательно два раза:

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} &= \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} \ &= \cos(0) \ &= 1 \end{aligned}$$

Таким образом, значение предела равно 1.

Выводы

Правило Лопиталя – это мощный инструмент для вычисления пределов, особенно в случаях неопределенных форм. Однако, его применение требует внимательности и знания производных функций. Важно понимать, что правило Лопиталя не всегда дает верный ответ и не всегда применимо. Поэтому, перед применением данного правила, необходимо проанализировать предел и принять решение о его вычислении.