Помогите пожалуйста вычислить предел

Необходимо вычислить предел функции:

$$\lim_{x \to \infty} (4x-6)(\ln(2x-4)-\ln(2x+2))$$

Для начала, можно заметить, что функция имеет вид "разность логарифмов". Следовательно, мы может воспользоваться свойством логарифмов:

$$\ln{a} - \ln{b} = \ln{\frac{a}{b}}$$

Применяя это свойство, мы можем переписать нашу функцию в следующем виде:

$$\begin{aligned} (4x-6)(\ln(2x-4)-\ln(2x+2)) &= (4x-6)\ln\left(\frac{2x-4}{2x+2}\right) \ &= (4x-6)\ln\left(\frac{x-2}{x+1}\right) \end{aligned}$$

Теперь, когда у нас есть более простой вид функции, мы можем воспользоваться правилом Лопиталя, которое позволяет вычислять пределы неопределенностей вида $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$.

Применяя правило Лопиталя, получим:

$$\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} (4x-6)\ln\left(\frac{x-2}{x+1}\right) &= \lim_{x \to \infty} \frac{\ln\left(\frac{x-2}{x+1}\right)}{\frac{1}{4x-6}} \ &= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{(x-2)(x+1)}}{-\frac{4}{(4x-6)^2}} \ &= \lim_{x \to \infty} -\frac{(4x-6)^2}{4(x-2)(x+1)} \ &= \lim_{x \to \infty} -\frac{(4x-6)^2}{4(x^2-x-2)} \ \end{aligned}$$

Несмотря на то, что вычисления стали более сложными, мы продолжаем применять правило Лопиталя, так как у нас все еще есть неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Проделав несколько шагов, можно получить окончательный ответ:

$$\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} (4x-6)\ln\left(\frac{x-2}{x+1}\right) &= \lim_{x \to \infty} -\frac{(4x-6)^2}{4(x^2-x-2)} \ &= \lim_{x \to \infty} -\frac{(4x-6)^2}{4(x-2)(x+1)} \ &= \lim_{x \to \infty} -\frac{(16x^2-48x+36)}{(4x-8)(x+1)} \ &= \lim_{x \to \infty} -\frac{16x^2}{4x^2} \ &= \lim_{x \to \infty} -4 \ &= -4 \end{aligned}$$

Таким образом, мы получили ответ на задачу:

$$\lim_{x \to \infty} (4x-6)(\ln(2x-4)-\ln(2x+2)) = -4$$