Площадь ромба и его треугольники

Известно, что площадь ромба $ABCD$ равна $64$ квадратных сантиметра, а его диагонали пересекаются в точке $O$. Мы рассчитаем площади треугольников $ABC$ и $ADO$.

По определению ромба, все его стороны имеют одинаковую длину. Пусть длина одной стороны ромба равна $a$. Тогда по теореме Пифагора, длина диагонали $AC$ равна:

$$ AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 $$

Следовательно, $AC = a\sqrt{2}$.

Так как диагонали ромба перпендикулярны между собой, диагональ $BD$ имеет такую же длину, $BD=a\sqrt{2}$.

Теперь мы можем легко вычислить высоту ромба, опущенную на любую из диагоналей. Пусть это будет высота, опущенная на диагональ $AC$. Обозначим данную высоту буквой $h$. Тогда:

$$ h^2 = AB^2 - \left(\frac{AC}{2}\right)^2 = a^2 - \frac{1}{2}a^2 = \frac{1}{2}a^2 $$ $$ h = \frac{a}{\sqrt{2}} $$

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника $ABC$:

$$ S_{ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot h = \frac{1}{2}a \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a^2}{2\sqrt{2}} $$

Давайте теперь обратимся к треугольнику $ADO$. Мы можем заметить, что он является прямоугольным треугольником, где диагональ $AC$ является гипотенузой, а отрезок $OD$ является катетом. Тогда:

$$ OD^2 = AD^2 - AO^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{2}a^2 = \frac{1}{4}a^2 $$

$$ OD = \frac{a}{2} $$

По теореме Пифагора, другой катет равен:

$$ AD = BD = a\sqrt{2} $$

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника $ADO$:

$$ S_{ADO} = \frac{1}{2}OD \cdot AD = \frac{1}{2}\cdot\frac{a}{2}\cdot a\sqrt{2} = \frac{a^2}{4}\sqrt{2} $$

Таким образом, мы вычислили площади треугольников $ABC$ и $ADO$, используя данные об одной диагонали ромба и его площадь.