На диагонали AC параллелограмма ABCD отложены равные отрезки AE и CK. Докажите, что четырехугольник BEDK - параллелограмм.
Для доказательства, что четырехугольник BEDK является параллелограммом, нам нужно показать, что противоположные стороны BEDK параллельны и равны.
Построим и изучим данную конструкцию подробнее.
Построение
- Пусть AC - диагональ параллелограмма ABCD, AE и CK - равные отрезки, отложенные на диагонали AC.
- Из точки A проведем прямую, параллельную BC, пересекающую продолжение стороны BD в точке F.
- Из точки K проведем прямую, параллельную AD, пересекающую продолжение стороны BD в точке H.
- Докажем, что стороны BE и DK параллельны, а стороны BD и EK равны.
Доказательство
- Так как AE и CK - равные отрезки, то у треугольников AEF и CKH стороны, отложенные на одной прямой (EF и KH), равны.
- EF || KH, так как они являются продолжениями параллельных сторон параллелограмма ABCD.
- Из свойств параллельных линий следует, что угол FDA равен углу BHD (альтернативные углы).
- Угол FDA также равен углу DAE (построение), следовательно, угол BHD = углу DAE.
- Так как углы DAE и KEC равны (они являются вертикальными углами), то углы BHD и KEC также равны.
- Из двух прямых и одного попарно равного угла следует, что угол EKF равен углу DKB.
- Угол EKF также равен углу FAK (построение), следовательно, угол DKB = углу FAK.
- Так как углы FAK и ADE равны (они являются вертикальными углами), то углы DKB и ADE также равны.
- Из двух прямых и одного попарно равного угла следует, что угол DEB равен углу DKH.
- Угол DEB также равен углу DEC (построение), следовательно, угол DKH = углу DEC.
- Так как углы DEC и BEC равны (они являются вертикальными углами), то углы DKH и BEC также равны.
Таким образом, мы доказали, что углы BED и DKH равны, что говорит об их параллельности, а углы DEB и DKH равны, что говорит об их равенстве. Следовательно, четырехугольник BEDK является параллелограммом.
В результате, данный четырехугольник обладает свойствами параллелограмма, что и требовалось доказать.