Умберто Эко

На диагонали AC параллелограмма ABCD отложены равные отрезки AE и CK. Докажите, что четырехугольник BEDK - параллелограмм.

Для доказательства, что четырехугольник BEDK является параллелограммом, нам нужно показать, что противоположные стороны BEDK параллельны и равны.

Построим и изучим данную конструкцию подробнее.

Построение

  1. Пусть AC - диагональ параллелограмма ABCD, AE и CK - равные отрезки, отложенные на диагонали AC.
  2. Из точки A проведем прямую, параллельную BC, пересекающую продолжение стороны BD в точке F.
  3. Из точки K проведем прямую, параллельную AD, пересекающую продолжение стороны BD в точке H.
  4. Докажем, что стороны BE и DK параллельны, а стороны BD и EK равны.

Доказательство

  1. Так как AE и CK - равные отрезки, то у треугольников AEF и CKH стороны, отложенные на одной прямой (EF и KH), равны.
  2. EF || KH, так как они являются продолжениями параллельных сторон параллелограмма ABCD.
  3. Из свойств параллельных линий следует, что угол FDA равен углу BHD (альтернативные углы).
  4. Угол FDA также равен углу DAE (построение), следовательно, угол BHD = углу DAE.
  5. Так как углы DAE и KEC равны (они являются вертикальными углами), то углы BHD и KEC также равны.
  6. Из двух прямых и одного попарно равного угла следует, что угол EKF равен углу DKB.
  7. Угол EKF также равен углу FAK (построение), следовательно, угол DKB = углу FAK.
  8. Так как углы FAK и ADE равны (они являются вертикальными углами), то углы DKB и ADE также равны.
  9. Из двух прямых и одного попарно равного угла следует, что угол DEB равен углу DKH.
  10. Угол DEB также равен углу DEC (построение), следовательно, угол DKH = углу DEC.
  11. Так как углы DEC и BEC равны (они являются вертикальными углами), то углы DKH и BEC также равны.

Таким образом, мы доказали, что углы BED и DKH равны, что говорит об их параллельности, а углы DEB и DKH равны, что говорит об их равенстве. Следовательно, четырехугольник BEDK является параллелограммом.

В результате, данный четырехугольник обладает свойствами параллелограмма, что и требовалось доказать.