Квадратные трехчлены f и g таковы, что f+g и f-g также являются квадратными трехчленами

Известно, что у квадратных трехчленов f и g есть некоторые корни. Давайте рассмотрим это более подробно и проанализируем, как это влияет на f+g и f-g.

Пусть f(x) = ax^2 + bx + c и g(x) = dx^2 + ex + f, где a, b, c, d, e, f - коэффициенты трехчленов.

Известно, что f и g имеют корни. Обозначим их как x1 и x2 для f, и y1 и y2 для g.

Таким образом, у нас есть следующие равенства:

f(x1) = 0, f(x2) = 0, g(y1) = 0, g(y2) = 0.

Теперь рассмотрим f+g и f-g:

f+g = (ax^2 + bx + c) + (dx^2 + ex + f) = (a+d)x^2 + (b+e)x + (c+f).

f-g = (ax^2 + bx + c) - (dx^2 + ex + f) = (a-d)x^2 + (b-e)x + (c-f).

Обратите внимание, что коэффициенты x^2, x и свободный член в обоих выражениях сохраняются.

Таким образом, f+g и f-g также являются квадратными трехчленами.

Давайте проверим, имеют ли f+g и f-g те же корни, что и f и g.

Для f+g:

(f+g)(x1) = ((a+d)x^2 + (b+e)x + (c+f))(x1) = (a+d)(x1)^2 + (b+e)(x1) + (c+f) = a(x1)^2 + b(x1) + c + d(x1)^2 + e(x1) + f = 0 + 0 + 0 = 0.

Аналогично, для остальных корней f и g мы получим:

(f+g)(x2) = 0, (f+g)(y1) = 0, (f+g)(y2) = 0.

Таким образом, все корни f+g совпадают с корнями f и g.

Аналогично, мы можем показать, что корни f-g также совпадают с корнями f и g.

Таким образом, если f и g - квадратные трехчлены с известными корнями, то f+g и f-g также будут квадратными трехчленами с теми же корнями.

Это свойство может быть полезным при решении уравнений и проведении других операций с квадратными трехчленами. Оно позволяет сократить время и упростить алгебраические вычисления.

Окончание статьи