Вычислить интеграл, используя полярные координаты
Интегрирование в полярных координатах является мощным инструментом для решения сложных математических задач, особенно тех, связанных с круговой симметрией. В данной статье мы рассмотрим пример вычисления интеграла с использованием полярных координат.
Для начала, давайте определим полярные координаты. В двумерном пространстве каждая точка может быть представлена как пара чисел -- радиуса ($r$) и угла ($\theta$). Радиус представляет расстояние от начала координат до точки, а угол определяет направление точки от начала координат.
Теперь рассмотрим интеграл $\iint_D f(x, y) dA$, где $D$ -- область интегрирования в декартовых координатах. Чтобы перейти к полярным координатам, мы заменяем переменные интегрирования $x$ и $y$ на $r \cos \theta$ и $r \sin \theta$ соответственно. Также дифференциал элементарной площадки $dA$ преобразуется в $r dr d\theta$. Получаем новый интеграл: $\iint_{D'} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r , dr , d\theta$, где $D'$ -- область интегрирования в полярных координатах.
Преимущество использования полярных координат заключается в том, что они позволяют упростить интегрирование в случаях, когда функции обладают круговой симметрией. В таких случаях граница области интегрирования становится более простой и может быть задана в виде ограниченных значений радиуса и угла.
Рассмотрим пример. Пусть нам необходимо найти площадь области, ограниченной кривой $r = 2 \cos \theta$ и углами $\theta = 0$ и $\theta = \pi/4$. Для этого мы можем вычислить соответствующий интеграл:
$$\iint_{D'} 1 \cdot r , dr , d\theta$$
Границы интегрирования в данном случае будут: $0 \leq r \leq 2 \cos \theta$ и $0 \leq \theta \leq \pi/4$. Подставляем эти границы в интеграл:
$$\int_0^{\pi/4} \int_0^{2 \cos \theta} r , dr , d\theta$$
Вычисляем первый интеграл по $r$:
$$\int_0^{2 \cos \theta} \frac{r^2}{2}\bigg|_0^{2 \cos \theta} , d\theta$$
Упрощаем:
$$\int_0^{\pi/4} (2 \cos^2 \theta) , d\theta$$
Вычисляем этот интеграл:
$$\frac{1}{2} \int_0^{\pi/4} (1 + \cos 2\theta) , d\theta$$
$$\frac{1}{2} \bigg(\theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta\bigg)\bigg|_0^{\pi/4}$$
Подставляем границы и вычисляем:
$$\frac{1}{2} \bigg(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \sin \bigg(\frac{\pi}{2}\bigg)\bigg) - \frac{1}{2} \bigg(0 + \frac{1}{2} \sin(0)\bigg)$$
$$\frac{1}{2} \bigg(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\bigg)$$
$$\frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}$$
Итак, площадь области, ограниченной кривой $r = 2 \cos \theta$ и углами $\theta = 0$ и $\theta = \pi/4$, равна $\frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}$.
Таким образом, использование полярных координат значительно облегчает вычисление сложных интегралов, особенно в случаях, когда функции обладают круговой симметрией. Полярные координаты позволяют упростить границы интегрирования, что ускоряет и облегчает выполнение математических расчетов.