В параллелограмме AMPK биссектрисы углов при стороне AM делят сторону KP точками T и F так, что PF:FT=3:5, найдите PK

Рассмотрим параллелограмм AMPK, в котором биссектрисы углов при стороне AM делят сторону KP точками T и F так, что отношение PF к FT равно 3:5.

Пусть угол APM равен α, а угол KPM равен β. Также обозначим длину стороны AM как a, а длину стороны KP как b.

Из свойств параллелограмма следует, что угол AMP равен KPM, то есть α = β.

Также из свойств биссектрисы угла следует, что отрезок PF делит угол APM пополам, а отрезок FT делит угол KPM пополам.

Отсюда следует, что угол APK также равен α. Тогда треугольники APK и AFP подобны, так как у них соответственные углы равны. Следовательно, отношение длин отрезков KP и PF равно отношению длин отрезков AK и AF:

KP/PF = AK/AF

А так как PT и TF делят отрезок PF в соотношении 3:5, то

PF = PT + TF = 3x + 5x = 8x

AK = AM + MK = a + b

AF = AM + MF = a + b/2

Подставляем все полученные значения в уравнение:

KP/8x = (a+b)/(a+b/2)

Решаем его относительно KP:

KP = 8ax/(2b+a)

Таким образом, мы получили формулу для вычисления длины стороны KP в параллелограмме AMPK при заданном отношении длин отрезков PF и FT.