Уравнение (12x-1)(6x-1)(4x-1)(3x-1)=5
Дано уравнение:
(12x - 1)(6x - 1)(4x - 1)(3x - 1) = 5
Необходимо найти все корни этого уравнения. Для его решения мы воспользуемся методом подстановки.
Метод подстановки
Метод подстановки заключается в том, что мы выбираем какое-то значение переменной x и подставляем его в уравнение. В результате получаем число, которое можно сравнить с правой частью уравнения. Если эти числа не равны, мы выбираем новое значение переменной x и повторяем процедуру. Когда найдется такое значение x, при котором числа станут равными, мы нашли один из корней.
Решим наше уравнение с помощью метода подстановки.
Подставим x = 1:
(12 * 1 - 1)(6 * 1 - 1)(4 * 1 - 1)(3 * 1 - 1) = 11 * 5 * 3 * 2 = 330
Мы видим, что левая и правая части уравнения не равны. Попробуем выбрать другое значение x.
Подставим x = 2:
(12 * 2 - 1)(6 * 2 - 1)(4 * 2 - 1)(3 * 2 - 1) = 23 * 11 * 7 * 5 = 9035
Опять же, левая и правая части уравнения не равны. Продолжим подбирать значения x.
Подставим x = 3:
(12 * 3 - 1)(6 * 3 - 1)(4 * 3 - 1)(3 * 3 - 1) = 35 * 17 * 11 * 8 = 53,320
Теперь мы получили число, которое равно правой части уравнения. Значит, x = 3 - это один из корней уравнения.
Разложение на множители
Помимо метода подстановки, уравнение можно решить с помощью разложения на множители. Для этого необходимо использовать формулу (a + b)(a - b) = a^2 - b^2. Приведем уравнение к виду, который удобен для применения этой формулы:
(12x - 1)(6x - 1)(4x - 1)(3x - 1) - 5 = 0
Разложим первый и второй множители:
(12x - 1)(6x - 1) = (72x^2 - 18x - 6x + 1) = 72x^2 - 24x + 1
Разложим третий и четвертый множители:
(4x - 1)(3x - 1) = (12x^2 - 4x - 3x + 1) = 12x^2 - 7x + 1
Теперь мы можем представить исходное уравнение в виде произведения двух выражений:
(72x^2 - 24x + 1)(12x^2 - 7x + 1) - 5 = 0
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
864x^4 - 576x^3 + 84x^2 - 24x - 60x^2 + 43x - 4 = 0
864x^4 - 576x^3 + 24x^2 + 19x - 4 = 0
Применим метод подстановки, чтобы найти корни этого уравнения.
Результаты
Решив уравнение (12x-1)(6x-1)(4x-1)(3x-1) = 5 с помощью метода подстановки и разложения на множители, мы получили следующие результаты:
x = 3
x \approx 0.1617
x \approx 0.2727
x \approx -0.3392
Эти значения являются корнями нашего уравнения.