Точка брошена внутрь круга радиуса R. Найти вероятность, что точка находится от центра на расстоянии (r < R).

Когда точка случайным образом выбирается внутри круга радиуса R, вероятность того, что она окажется на расстоянии от центра, меньшем, чем R, можно выразить с помощью формулы:

$$ P(r < R) = \frac{\pi r^2}{\pi R^2} = \frac{r^2}{R^2} $$

где r - расстояние от центра круга до случайно выбранной точки, а R - радиус круга.

Эта формула может быть получена путем разделения площади круга радиуса R на площадь круга радиуса r. Таким образом, вероятность P(r < R) зависит только от отношения r к R.

Например, если мы рассмотрим круг радиуса 2 с центром в (0, 0) на координатной плоскости, вероятность выбора случайной точки на расстоянии меньше, чем 1, будет равна:

$$ P(r < 1) = \frac{\pi (1^2)}{\pi (2^2)} = \frac{1}{4} $$

то есть 25%.

Таким образом, вероятность того, что точка находится на расстоянии (r < R) от центра круга радиуса R может быть выражена простой формулой:

$$ P(r < R) = \frac{r^2}{R^2} $$

Применение этой формулы может оказаться полезным при решении различных вероятностных задач, связанных с выбором случайной точки внутри круга.