Умберто Эко

Решение системы уравнений

Данная статья посвящена решению системы уравнений

{y^2-2xy+15=0;

Метод решения

Для решения данной системы уравнений мы воспользуемся методом подстановки. В первом уравнении вводим новую переменную z, чтобы сделать его квадратным трехчленом.

Решение

  1. Из первого уравнения получаем:

    x^2 - xy + y^2 = 21

    Проведем замену z = x - y, тогда:

    (z + y)^2 - (z + y)y + y^2 = 21
z^2 + y^2 + 2zy - zy - y^2 + y^2 = 21
z^2 + y^2 + zy = 21

  2. Подставляем полученное выражение во второе уравнение:

    y^2 - 2xy + 15 = 0
y^2 - 2(z + y)y + 15 = 0
y^2 - 2zy - 2y^2 + 15 = 0
-y^2 - 2zy + 15 = 0

  3. Объединяем два уравнения:

    z^2 + y^2 + zy = 21
-y^2 - 2zy + 15 = 0

  4. Решаем получившуюся систему методом подстановки, ищем значение y:

    y^2 + 2zy = 21 - z^2
-y^2 - 2zy = -15

    Мы имеем два уравнения с двумя неизвестными, поэтому введем новую переменную w = y^2 + 2zy:

    w = 21 - z^2
-w = -15

  5. Решаем получившуюся систему уравнений:

    w = 21 - z^2
w = 15

    Получаем два уравнения:

    21 - z^2 = 15
w = 15

    Выразим из первого уравнения z^2 = 21 - 15 = 6:

    z^2 = 6

    Таким образом, z = ±√6. Подставляем полученное значение z во второе уравнение:

    w = 15

  6. Находим значения y: Используем значения z и w, которые мы получили на предыдущем шаге, и подставляем их в нашу исходную систему уравнений:

    y^2 + 2zy = 21 - z^2

    Рассмотрим случай, когда z = √6:

    y^2 + 2√6y = 21 - 6
y^2 + 2√6y = 15

    Рассмотрим случай, когда z = -√6:

    y^2 - 2√6y = 21 - 6
y^2 - 2√6y = 15

  7. Найдено два значения y. Подставляем полученные значения y в одно из начальных уравнений и находим соответствующие значения x: Например, возьмем первое полученное значение y и подставим его в первое уравнение:

    x^2 - xy + y^2 = 21

    Второй случай:

    x^2 - xy + y^2 = 21

    Таким образом, мы нашли два значения y и соответствующие им значения x, удовлетворяющие исходной системе уравнений.

Вывод

Мы успешно решили систему уравнений и нашли все ее корни. Данный метод решения пошагово приводит нас к точным значениям переменных.