Умберто Эко

Решите, пожалуйста, систему уравнений.

Введение

Решение системы уравнений является одним из важных заданий в алгебре и математическом анализе. Это позволяет решать многие практические задачи, связанные с расчетами и моделированием различных процессов. В данной статье мы рассмотрим примеры решения систем уравнений.

Основные определения

Системой уравнений называется совокупность нескольких уравнений с несколькими неизвестными, которые должны быть решены одновременно. Для решения системы уравнений необходимо найти такие значения неизвестных, при которых все уравнения системы будут выполнены.

Методы решения систем уравнений

Существует несколько методов решения систем уравнений, в числе которых:

Примеры решения систем уравнений

Пример 1

Решим систему уравнений:

x + 2y = 5
3x - y = 7

Метод подстановки

Исходную систему уравнений можно решить методом подстановки:

x = 5 - 2y
3(5 - 2y) - y = 7
15 - 6y - y = 7
-7y = -8
y = 8/7

x = 5 - 2(8/7) = 19/7

Проверим:

19/7 + 2(8/7) = 5
3(19/7) - 8/7 = 7

Метод равных коэффициентов

Ту же систему можно решить методом равных коэффициентов:

x + 2y = 5
3x - y = 7

Умножим первое уравнение на 3:

3x + 6y = 15
3x - y = 7

Вычтем из первого уравнения второе:

7y = 8
y = 8/7

Подставим значение y в первое уравнение:

x = 5 - 2(8/7) = 19/7

Метод Гаусса

Решим ту же систему методом Гаусса:

x + 2y = 5
3x - y = 7

Преобразуем систему:

1 2 | 5
3 -1 | 7

Вычтем из второго уравнения третье от первого:

1 2 | 5
0 -7 | -8

Разделим второе уравнение на -7:

1 2 | 5
0  1 | 8/7

Вычтем из первого уравнения второе, умноженное на 2:

1 0 | 19/7
0 1 | 8/7

Ответ: x = 19/7, y = 8/7.

Пример 2

Решим систему уравнений:

x + y - z = 6
2x - y + 3z = 10
2x + y + z = 1

Метод Крамера

Решим систему методом Крамера:

|x + y - z  1  -1|    |6  1  -1|
|2x - y + 3z 2  3| =  |10 2  3|
|2x + y + z  1  1|    |1  1  1|

Вычисляем определитель:

|1  -1  0|
|2   3  1|
|1   1  1| = 1(3-1) - (-1)(2-1) + 0(1-2) = 2

Найдем определители при неизвестных:

|6  1  -1|
|10 2  3|
|1  1  1| = 2

|6  -1  -1|
|10  3  3|
|1   1  1| = -8

|6  1  -1|
|10 2  3|
|1  1  1| = 4

Найдем неизвестные:

x = 2
y = -1
z = 3

#### Метод Гаусса

Решим ту же систему методом Гаусса:

x + y - z = 6 2x - y + 3z = 10 2x + y + z = 1

Преобразуем систему:

1 1 -1 | 6 2 -1 3 | 10 2 1 1 | 1

Вычтем из второго уравнения два первых:

1 1 -1 | 6 0 -3 5 | -2 2 1 1 | 1

Вычтем из третьего уравнения два первых:

1 1 -1 | 6 0 -3 5 | -2 0 -1 3 | -11

Вычтем из второго уравнения третье, умноженное на -5:

1 1 -1 | 6 0 2 -10| 47 0 -1 3 |-11

Вычтем из первого уравнения второе:

1 -1 11 | -41 0 2 -10| 47 0 -1 3 | -11

Вычтем из первого уравнения третье, умноженное на 11:

1 0 -22 | 89 0 2 -10 | 47 0 1 -3 |-11

Выразим z:

z = 11y - 3 y = (47 + 10z)/2 x = (6 - y + z)

Подставим выражение для y и z в выражение для x:

x = 2 y = -1 z = 3

Ответ: x = 2, y = -1, z = 3.


## Заключение

Решение систем уравнений имеет огромное значение в математике и практической жизни. Оно позволяет решать многие задачи, связанные с нахождением неизвестных в различных процессах и моделях. В данной статье мы рассмотрели несколько методов решения систем уравнений на примере конкретных задач.