Умберто Эко

Помогите решить задачу! За 7 класс по алгебре!

Учить алгебру не всегда просто. Иногда встречаются задачи, которые кажутся слишком сложными для понимания. Но не стоит отчаиваться! Мы поможем вам решить задачу!

Текст задачи

В трапеции $ABCD$ ($AB \parallel CD$) $AD = 10$, $BC = 16$. Из вершины $A$ проведена высота $AH$ на боковую сторону $BC$, $H \in BC$. Найдите длину отрезка $AH$.

Решение задачи

Для начала, нарисуем трапецию:

 A----------------------------B
  |\                         /|
  | \                      /  |
  |  \                   /    |
  |   \                /      |
  |    \             /        |
  |     \          /          |
  |      \       /            |
  |       \    /              |
  |        \ /                |
  D--------C                 |
             \                |
              \               |
               \              |
                \             |
                 \            |
                  \           |
                   \          |
                    \         |
                     \        |
                      \       |
                       \      |
                        \     |
                         \    |
                          \   |
                           \  |
                            \ |
                             \|
                              H

Так как $AB \parallel CD$, то $\angle ABC = \angle ACD$. Также, $\angle AHB = \angle AHD = 90^\circ$, так как $AH$ - это высота трапеции $ABCD$.

Используем теперь подобие треугольников. Треугольник $ABH$ подобен треугольнику $ACD$ по двум углам, а именно: $\angle ABH = \angle ACD$ (из-за параллельности сторон $AB$ и $CD$) и $\angle AHB = \angle ADC = 90^\circ$.

Таким образом, имеем:

$$\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AH}{AD}$$

$$\dfrac{AB+CD}{AC} = \dfrac{AH}{AD}$$

$$\dfrac{AB+CD}{AB} = \dfrac{AD}{AH}$$

Подставляем известные значения:

$$\dfrac{AB+16}{AB} = \dfrac{10}{AH}$$

Решаем уравнение относительно $AH$:

$$AB \cdot 10 = (AB+16) \cdot AH$$

$$10AB = AB \cdot AH + 16 \cdot AH$$

$$10AB - AB \cdot AH = 16 \cdot AH$$

$$AB(10-AH) = 16 \cdot AH$$

$$AB = \dfrac{16 \cdot AH}{10-AH}$$

Заметим, что $AB < AD$, так как $ABCD$ - трапеция. Поэтому $16 < 10+AH$, то есть $AH > 6$.

Подставляем это значение в уравнение и получаем:

$$AB = \dfrac{16 \cdot 7}{10-7} = 16 \cdot 7 = 112$$

Таким образом, $AB=112$ и $AH = \dfrac{16 \cdot 7}{10-7} = 32$. Ответ: $AH = 32$.

Выводы

Как мы видим, некоторые задачи по алгебре могут быть сложными для решения. Но с помощью правильного подхода и применения нужных формул и методов, можно получить корректный и точный ответ. Главное - не бояться задач и учиться анализировать заданные условия. Иногда ответ может оказаться рядом - нужно всего лишь посмотреть под другим углом.