Помогите решить задачу по геометрии № 3! 11 класс.

Задача: В равнобедренном треугольнике $ABC$ проведены высота $BD$ и медиана $AM$. Докажите, что отрезки $BC$ и $DM$ перпендикулярны.

Решение:

Для начала, обратимся к определению перпендикулярных отрезков. Отрезки $BC$ и $DM$ перпендикулярны, если и только если их углы с вектором нормали $n$ равны между собой и сумма этих углов равна $90°$.

В данной задаче, чтобы доказать перпендикулярность отрезков $BC$ и $DM$, нам потребуется использовать некоторые свойства равнобедренных треугольников.

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным, то высота $BD$ является биссектрисой угла $B$ и медиана $AM$ является высотой. Значит, $BD$ и $AM$ пересекаются в точке $P$, которая является точкой пересечения биссектрисы и высоты треугольника.

Таким образом, мы получили, что треугольник $BPD$ является прямоугольным, а треугольник $APM$ - тоже прямоугольным. Из этого следует, что углы $BPD$ и $APM$ равны $90°$.

Теперь, чтобы доказать перпендикулярность отрезков $BC$ и $DM$, достаточно доказать, что углы $BC$ и $DM$ равны углам $BPD$ и $APM$, сумма которых равна $90°$.

Так как отрезки $BD$ и $AM$ пересекаются в точке $P$, углы $BPD$ и $APM$ равны соответственно углам $BPC$ и $AMP$. Отсюда следует, что углы $BC$ и $DM$ также равны углам $BPD$ и $APM$, что дает нам окончательный результат - отрезки $BC$ и $DM$ перпендикулярны.

Таким образом, мы успешно доказали, что отрезки $BC$ и $DM$ перпендикулярны с использованием свойств равнобедренных треугольников и определения перпендикулярных отрезков.