ПОМОГИТЕ! Интеграл!

Интеграл (1+х)/(1-х^2)^0.5 по dx

Возможно, многие из нас сталкивались с заданием по вычислению интегралов. Интеграл – это одно из самых важных понятий математики, который позволяет нам решать различные задачи, начиная от физики и заканчивая экономикой. Однако даже опытные специалисты могут столкнуться с трудностью в вычислении сложных интегралов, к которым можно отнести, например, интеграл (1+х)/(1-х^2)^0.5 по dx.

Для того, чтобы вычислить этот интеграл, нам понадобится знание таких методов, как замена переменных и интегрирование по частям. Опишем процесс решения этого задания по шагам:

Найдем производную знаменателя: (1-х^2)' = -2х.
Вынесем за скобки положительный коэффициент '2': (1-х^2)^0.5 = 2(-х^2 + 1)^0.5.
Подставим полученное выражение в заданный интеграл: ∫(1+х)/[2(-х^2 + 1)^0.5] dx.
Вынесем за знак интеграла положительный коэффициент '0.5': ∫(1+х)/[(-х^2 + 1)^0.5] dx.
Проведем замену переменных: х = sin(θ), откуда dx = cos(θ)dθ.
Подставим полученные значения в заданный интеграл: ∫(1+sin(θ))/[cos^2(θ)] cos(θ) dθ.
Упростим выражение в числителе: 1+sin(θ) = 2sin^2(θ/2).
Получаем итоговое выражение: ∫2sin^2(θ/2)/[cos(θ)] dθ.
Применяем формулу для интеграла cos(θ)^n dθ: ∫cos(θ)^n dθ = (cos(θ)^(n-1))sin(θ)/n + ((n-1)/n)∫cos(θ)^(n-2) dθ.
Применяем данную формулу с n=1 и n=3.
Получаем итоговый ответ: ∫2sin^2(θ/2)/[cos(θ)] dθ = 2arcsin(x) -ln|(1-х^2)^0.5 + х| + C, где C – произвольная постоянная.

Таким образом, наш интеграл (1+х)/(1-х^2)^0.5 по dx равен 2arcsin(x) -ln|(1-х^2)^0.5 + х| + C. При решении данного задания нам понадобилось применить различные методы, но полученный результат дает нам возможность легко решать различные задачи, которые связаны с данным интегралом.