Олимпиада Олимпик: задача по поиску простых чисел
На Олимпиаде Олимпик по математике была представлена следующая задача: необходимо найти все простые числа х и у, которые удовлетворяют уравнению х^2 - 2у^2 = 1.
Разберемся сначала, что такое простое число. Простое число - это такое натуральное число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя. Например, 2, 3, 5, 7 и 11 - это простые числа.
Начнем решение задачи. Подставим вместо х и у некоторые простые числа и посмотрим, удовлетворят ли они данное уравнение.
Попробуем подставить х = 3 и у = 2. Тогда получим: 3^2 - 2*2^2 = 1. Уравнение выполняется.
Попробуем подставить х = 17 и у = 12. Тогда получим: 17^2 - 2*12^2 = 1. Уравнение также выполняется.
Попробуем подставить другие простые числа и увидим, что они не удовлетворяют данному уравнению.
Но как нам найти все простые числа, удовлетворяющие данному уравнению? Для этого используется так называемое "равенство Пелля". Это уравнение вида х^2 - Dy^2 = 1, где D - целое число, не являющееся квадратом натурального числа.
Найдем все решения уравнения Пелля для D = 2. Для этого будем находить значения х и у с помощью рекуррентной формулы:
х(0) = 1, х(1) = 3
у(0) = 0, у(1) = 2
х(n) = 3х(n-1) + 4у(n-1)
у(n) = 2х(n-1) + 3у(n-1)
Используя эту формулу, мы можем находить значения х и у для разных n. Например, при n = 2 получим: х = 17 и у = 12. Для n = 3 получим: х = 99 и у = 70. Таким образом, мы можем находить все решения уравнения Пелля для D = 2.
Так как все найденные решения уравнения Пелля являются простыми числами, то мы получили все простые числа, удовлетворяющие уравнению х^2 - 2у^2 = 1.
Таким образом, решение задачи сводится к нахождению всех решений уравнения Пелля для D = 2.
- А что ты обычно откладываешь до понедельника?))))
- Вы верите в то, что порча и колдовство не пустые слова?
- Зачем дядька просит выслать ему вместе с сиськами глаза?)))
- Как исследовать на максимум и минимум
- Порнография - своеобразное искусство или способ заработать огромные деньги?
- При разводе баллы в Ответах делятся пополам