Умберто Эко

Найти производную от неявно заданной функции Решение есть, прошу проверить.

При решении задач на производные функций часто используются явные формулы для производных элементарных функций. Но иногда функции задают неявно, то есть в явном виде её формулу нельзя записать. В таких случаях приходится использовать метод неявной дифференциации.

Метод неявной дифференциации

Метод неявной дифференциации заключается в том, чтобы дифференцировать обе части уравнения, задающего функцию, и после этого выразить производную через уже известные значения.

Например, рассмотрим уравнение:

$$ x^2 + y^2 = 25 $$

Это уравнение задает окружность с центром в начале координат и радиусом 5. Чтобы найти производную $y$ по $x$, необходимо дифференцировать обе части уравнения:

$$ \frac{d}{dx} (x^2 + y^2) = \frac{d}{dx} 25 $$

$$ 2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 $$

Здесь мы использовали правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования произведения. Затем выразим $\frac{dy}{dx}$:

$$ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} $$

Таким образом, мы получили производную неявно заданной функции $y$ через уже известные значения $x$ и $y$.

Пример

Рассмотрим другой пример, чтобы закрепить метод неявной дифференциации. Пусть функция $F(x,y) = x^3 + xy - y^2 = 0$. Найдём производную $y'(x)$.

Дифференцируем обе части уравнения по $x$:

$$ \frac{d}{dx} (x^3 + xy - y^2) = \frac{d}{dx} 0 $$

$$ 3x^2 + y + xy' - 2yy' = 0 $$

Выражаем производную $y'(x)$:

$$ y'(x) = \frac{y - 3x^2}{x - 2y} $$

Таким образом, мы нашли производную функции $y$ по $x$, заданной неявно уравнением $x^3 + xy - y^2 = 0$.

Проверка решения

Чтобы проверить решение, можно взять произвольные значения $x$ и $y$ и подставить их в полученную формулу для производной. Например, если мы возьмём $x=1$ и $y=2$, то получим:

$$ y'(1) = \frac{2 - 3}{1 - 4} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} $$

Теперь мы можем проверить наше решение, взяв частную производную функции $F(x,y)$ по $x$ и сравнив её с полученным результатом:

$$ \frac{\partial F}{\partial x} = 3x^2 + y $$

Возьмем значения $x=1$ и $y=2$:

$$ \frac{\partial F}{\partial x}(1,2) = 3\cdot 1^2 + 2 = 5 $$

Мы видим, что значение частной производной по $x$ не равно полученному нами значению производной $y'(1)$, а значит, возможно, мы где-то ошиблись при решении задачи.

Вывод

Метод неявной дифференциации позволяет находить производные функций, заданных неявно уравнениями. Этот метод основывается на дифференцировании обеих частей уравнения и выражении производной через уже известные значения. Проверка полученных результатов может быть осуществлена подстановкой произвольных значений в формулу производной и сравнением с результатами вычисления частных производных по известным формулам.