Найдите все вещественные x для которых xn + x – n целое при любом n

Для начала, давайте перепишем данное условие в более математической форме:

$$\forall n \in \mathbb{N} \ \ xn + x - n \in \mathbb{Z}$$

То есть, для любого $n$ из множества натуральных чисел, выражение $xn + x - n$ является целым числом.

Давайте посмотрим на данное выражение более внимательно. Можно заметить, что $xn + x - n = (x+1)(n-x)$. Таким образом, условие задачи переписывается как:

$$\forall n \in \mathbb{N} \ \ (x+1)(n-x) \in \mathbb{Z}$$

Теперь заметим, что $(x+1)$ и $(n-x)$ являются целыми числами (в силу определения целых чисел). Таким образом, условие задачи эквивалентно следующему:

$$\forall n \in \mathbb{N} \ \ (x+1),(n-x) \in \mathbb{Z}$$

Это значит, что $x+1$ и $n-x$ должны быть целыми числами для любого $n$ из множества натуральных чисел. Рассмотрим случай $n=1$. Тогда условие примет вид:

$$(x+1),(1-x) \in \mathbb{Z}$$

Из этого условия вытекает, что:

$x+1$ и $1-x$ должны быть целыми числами.
$x+1+1-x=2$ должно быть целым числом.

Отсюда получаем, что $x$ должен быть равен $k-\frac{3}{2}$, где $k$ — целое число.

Таким образом, мы получили, что все вещественные $x$, удовлетворяющие условию задачи имеют вид $k-\frac{3}{2}$, где $k$ — целое число.

Ответ: $x=k-\frac{3}{2}$, где $k$ — целое число.