Умберто Эко

Математика 10-11 класс. Раздел тригонометрия

Тригонометрия - это раздел математики, изучающий свойства тригонометрических функций, таких как синус, косинус, тангенс, котангенс. В 10-11 классах ученикам предстоит изучить более сложные задачи с использованием этих функций.

Основные формулы

Для решения задач по тригонометрии необходимо знать основные формулы:

  1. Основные углы:

    • $\sin 0 = 0$

    • $\cos 0 = 1$

    • $\tan 0 = 0$

    • $\cot 0$ - не определен

    • $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

    • $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

    • $\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

    • $\cot \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$

    • $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

    • $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

    • $\tan \frac{\pi}{4} = 1$

    • $\cot \frac{\pi}{4} = 1$

    • $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

    • $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

    • $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$

    • $\cot \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

  2. Формулы сложения:

    • $\sin(a+b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$
    • $\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$
    • $\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a\tan b}$

  3. Формулы двойного угла:

    • $\sin 2a = 2\sin a \cos a$
    • $\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a$
    • $\tan 2a = \frac{2\tan a}{1 - \tan^2 a}$

Примеры задач

  1. Найти значение выражения:

    $\sin 30^\circ + \cos 60^\circ$

    Используя основные углы и формулы сложения, получаем:

    $\sin 30^\circ + \cos 60^\circ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

  2. Решить уравнение:

    $\tan x = \sqrt{3}$

    Используя формулу двойного угла, получаем:

    $\tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \frac{2\sqrt{3}}{1 - 3} = -\frac{2\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}$

    Таким образом, уравнение $\tan x = \sqrt{3}$ эквивалентно уравнению $\tan 2x = -\sqrt{3}$. Решаем последнее уравнение:

    $\tan 2x = -\sqrt{3} \Rightarrow 2x = \frac{2\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

    $\Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

    Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

Заключение

Тригонометрия - это важный раздел математики, который широко применяется в различных областях науки и техники. Для успешного решения задач по этому разделу нужно хорошо знать основные формулы и уметь применять их в различных ситуациях.