Как решать? (tg4x-tg2x)/(1+tg4x-tg2x)=корень из 3

Дано выражение:

(tg4x-tg2x)/(1+tg4x-tg2x)=√3

Необходимо найти x.

Шаг 1: Приведение к общему знаменателю

Для начала приведём дробь в выражении к общему знаменателю. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на (1-tg2x). Получится так:

(tg4x-tg2x) * (1-tg2x) / (1+tg4x-tg2x) * (1-tg2x) = √3

Раскроем скобки и сократим некоторые слагаемые:

(tg4x-tg2x+tg2x-tg4x*tg2x) / (1-tg^2(2x)) = √3

Заметим, что tg2x встречается в числителе и знаменателе.

Шаг 2: Замена переменных

Для дальнейшего упрощения выражения введем новую переменную t = tg2x. Тогда получим:

(tg4x-t) / (1-t^2) = √3

Шаг 3: Введение тригонометрических функций кратных углов

Применим формулы кратного угла к tg4x. После нескольких преобразований можно получить выражение:

(t * (√3 * t^2 - 3)) / (t^4 - 3 * t^2 + 1) = 0

Шаг 4: Анализ уравнения и нахождение корней

Решим полученное уравнение. Здесь можно применить метод разложения на множители или просто заметить, что в числителе уравнения стоит t * (√3 * t^2 - 3), а в знаменателе - t^4 - 3 * t^2 + 1.

Таким образом, уравнение будет иметь два корня: t = 0 и t = ±√3.

Шаг 5: Нахождение значений x

Так как t = tg2x, мы можем найти значения x из уравнений:

tg2x = 0 => x = kπ, где k - целое число.

tg2x = ±√3 => x ≈ 0,5236 + kπ/2 и x ≈ 2,6179 + kπ/2, где k - целое число.

Таким образом, решение уравнения tg4x-tg2x)/(1+tg4x-tg2x)=√3 имеет вид x = kπ, x ≈ 0,5236 + kπ/2, x ≈ 2,6179 + kπ/2, где k - целое число.