Как определить вероятность нахождения электрона в средней трети «ямы», если электрон находится в возбужденном состоянии

Рассмотрим электрон, находящийся в потенциальной яме. Если электрон находится в возбужденном состоянии, то его энергия не является определенной.

Чтобы найти вероятность нахождения электрона в средней трети ямы, необходимо решить уравнение Шредингера:

$$ H \psi = E \psi $$

где $\psi$ - волновая функция электрона, $E$ - его энергия, а $H$ - оператор Гамильтона.

Шаг 1

Найдем волновую функцию электрона. В случае возбужденного состояния электрона, волновая функция будет иметь вид:

$$\psi(x,t) = A e^{i(kx - \omega t)}$$

где $A$ - амплитуда волновой функции, $k$ - волновой вектор, $\omega$ - частота.

Так как электрон находится в потенциальной яме, энергия электрона может принимать определенные дискретные значения (уровни энергии).

Шаг 2

Найдем энергетические уровни электрона в потенциальной яме. Для этого решим уравнение Шредингера для потенциальной ямы:

$$\frac{-\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+V(x)\psi=E\psi$$

где $m$ - масса электрона, $\hbar$ - постоянная Планка, $V(x)$ - потенциальная функция, определяющая яму, $E$ - энергия электрона.

Решение этого уравнения дает возможные значения энергии электрона и соответствующие им волновые функции.

Шаг 3

Найдем вероятность нахождения электрона в средней трети ямы. Вероятность определяется интегралом:

$$P = \int_{x_1}^{x_2}|\psi|^2dx $$

где $x_1$ и $x_2$ - координаты, определяющие среднюю треть ямы.

В нашем случае, вероятность нахождения электрона в средней трети ямы будет равна:

$$P = \int_{a/3}^{2a/3}|A e^{i(kx - \omega t)}|^2dx $$

где $a$ - ширина ямы.

После упрощения получим:

$$P = \frac{|A|^2}{2k}[(2k\frac{a}{3})-(k\frac{a}{3})] = \frac{|A|^2a}{3}$$

Шаг 4

Чтобы определить значение амплитуды волновой функции $A$, необходимо решить уравнение Шредингера. Это требует дополнительных расчетов и может быть уделено отдельному исследованию.

Вывод

Таким образом, вероятность нахождения электрона в средней трети ямы можно определить, решив уравнение Шредингера и вычислив соответствующий интеграл. Однако, для этого необходимо знать значение энергии электрона и амплитуды волновой функции.