Где найти доказательство теоремы косинусов без применения теоремы Пифагора?

Доказательство теоремы косинусов можно провести без использования теоремы Пифагора. Это возможно благодаря использованию геометрических преобразований и соотношений между сторонами треугольника.

Теорема косинусов утверждает, что в любом треугольнике сумма квадратов двух катетов равна квадрату гипотенузы умноженной на косинус угла между гипотенузой и одним из катетов. Математически это выглядит так: a^2 + b^2 = c^2 * cos(C), где a, b, c – стороны треугольника, C – угол между сторонами a и b, c – гипотенуза.

Для доказательства этого соотношения можно использовать проекции векторов на оси координат. Рассмотрим треугольник ABC, где стороны a, b, c и угол C между сторонами a и b известны.

Первым шагом нужно провести высоту из вершины C на сторону AB. Пусть точка пересечения высоты и стороны AB обозначается буквой D. Тогда можно записать, что AD=bcos(C) и CD=csin(C).

Рассмотрим теперь треугольник ACD. Его стороны a и b – это AD и DC соответственно, а сторона c остается прежней. Применяя теорему Пифагора для треугольника ACD, получим: a^2 + b^2 = (AD)^2 + (DC)^2 = b^2cos^2(C) + c^2sin^2(C)

Далее, заменим в этом соотношении выражение cos^2(C) на выражение 1 – sin^2(C) и приведем подобные слагаемые:

a^2 + b^2 = b^2*(1 – sin^2(C)) + c^2sin^2(C) a^2 + b^2 = b^2 + c^2sin^2(C) – b^2sin^2(C) a^2 + b^2 = b^2 + c^2sin^2(C) – b^2*(1 – cos^2(C))

Так как a^2 + b^2 = c^2cos^2(C) + c^2sin^2(C), можно записать:

c^2cos^2(C) + c^2sin^2(C) = b^2 + c^2sin^2(C) – b^2(1 – cos^2(C)) c^2cos^2(C) = b^2(1 – cos^2(C)) + c^2*(1 – sin^2(C)) c^2cos^2(C) = b^2cos^2(C) + c^2cos^2(C) – b^2cos^2(C) + c^2*sin^2(C)

Упрощая полученное выражение, получим искомую формулу: a^2 + b^2 = c^2*cos^2(C)

Таким образом, мы доказали теорему косинусов без применения теоремы Пифагора. Доказательство основывалось на геометрических преобразованиях и свойствах треугольника.