Умберто Эко

ЕГЭ, математика: уравнение со смешанной тригонометрией

Решение уравнений с тригонометрическими выражениями может быть вызывающим неприятности для студентов, особенно во время экзаменов, таких как ЕГЭ. Однако несмотря на сложность, эти задачи могут быть успешно решены, если вы знакомы с соответствующими стратегиями и методами. Рассмотрим одну из таких задач: уравнение $(4cos^2x - 4cosx - 3) \sqrt{-6sinx} = 0 $.

Мы хотим найти все значения переменной 𝑥, которые удовлетворяют данному уравнению. Для начала давайте рассмотрим каждое из сомножителей в левой части уравнения по отдельности.

  1. Первый сомножитель: $4cos^2x - 4cosx - 3$

    Это квадратное уравнение относительно $cosx$. Чтобы решить его, мы можем использовать метод дискриминанта.

    Для начала, запишем квадратное уравнение в обычной форме: $4cos^2x - 4cosx - 3 = 0$. Затем мы можем найти дискриминант 𝐷 как $D = b^2 - 4ac$, где $a = 4$, $b = -4$ и $c = -3$.

    Подставляя значения в формулу дискриминанта, получим $D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$.

    Если дискриминант положительный, как в нашем случае, то уравнение имеет два корня. Мы можем найти их, используя формулу корней квадратного уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Подставив значения $a$, $b$ и $D$, получаем:

    $x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 \pm 8}{8}$

    Это дает нам два возможных значения для $cosx$: $\frac{1}{2}$ и $-1$. Для получения значений переменной 𝑥, возьмем обратный косинус каждого значения:

    $𝑥 = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ и $𝑥 = \cos^{-1}(-1)$.

    Значение $\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ равно $60\degree$ или $\frac{\pi}{3}$ радиан, а $\cos^{-1}(-1)$ равно $180\degree$ или $\pi$ радиан.

    Таким образом, мы нашли два значения $x$, которые удовлетворяют первому сомножителю: $x = \frac{\pi}{3}$ и $x = \pi$.

  2. Второй сомножитель: $\sqrt{-6sinx}$

    Здесь мы имеем квадратный корень из выражения $-6sinx$. Поскольку подкоренное выражение отрицательное, уравнение не имеет действительных решений, так как квадратный корень из отрицательного числа не определен для действительных чисел. Поэтому этот сомножитель равен нулю только в случае, если сам корень равен нулю.

  3. Находим решение уравнения

    Таким образом, уравнение $(4cos^2x - 4cosx - 3) \sqrt{-6sinx} = 0$ имеет следующие решения:

    • $x = \frac{\pi}{3}$
    • $x = \pi$

    Это окончательные ответы на данное уравнение.

Решение задач с тригонометрическими уравнениями может быть сложным, но с практикой и усвоением соответствующих методик вы сможете справиться с ними. Удачи в подготовке к экзамену!