Доказательство неравенств. Помогите решить!

Доказывать неравенства - одно из наиболее важных заданий в алгебре. Важнейшим инструментом в этом деле является изучение уравнений и неравенств, а также использование символов и арифметических операций.

Рассмотрим неравенство:

2х2 + у2 - 2ху - 4х + 4у + 5 > 0

Для начала, заметим, что данное неравенство является квадратным трехчленом. Чтобы привести его к более удобному виду, сгруппируем слагаемые:

(2х2 - 4х) + (у2 - 2ху + 4у + 5) > 0

Теперь можно заметить, что первое скобочное выражение можно преобразовать к виду 2х(х - 2), а второе - к виду (у - х + 2)2 + 1.

Таким образом, неравенство можно записать в виде:

2х(х - 2) + (у - х + 2)2 + 1 > 0

Заметим, что скобочные выражения второго слагаемого - это квадраты ключевых точек графика функции у = х - 2. Это означает, что данное неравенство не имеет решения при любых (у, х), когда скобочное выражение второго слагаемого равно 0 (то есть точка пересечения этой функции с осью у).

Таким образом, чтобы доказать, что данное неравенство верно, достаточно показать, что его значение больше 1 при любых (у, х), у которых скобочное выражение второго слагаемого не равно 0.

Следовательно, мы можем ограничить значение х, чтобы убедиться, что при любых у этого неравенства нет решения.

2х(х - 2) + (у - х + 2)2 + 1 > 0

Рассмотрим следующие значения х:

х = 0

Тогда неравенство принимает вид:

2 * (0 - 2) + (у - 0 + 2)2 + 1 > 0

-8 + (у + 2)2 + 1 > 0

(у + 2)2 > 7

Отсюда следует, что данное неравенство не выполнено для любых у.

х = 3

Тогда неравенство принимает вид:

2 * (3 - 2) + (у - 3 + 2)2 + 1 > 0

2 + (у - 1)2 + 1 > 0

(у - 1)2 > -3

Это неравенство верно для любых у.

Таким образом, мы доказали, что неравенство

2х2 + у2 - 2ху - 4х + 4у + 5 > 0

верно только при условии, что (у, х) ≠ (-2, 0).