Алгебра. Тригонометрия. 10 класс.
ПОМОГИТЕ пожалуйста решить уравнение:
Здравствуйте, уважаемые читатели! Сегодня мы рассмотрим задачу по алгебре и тригонометрии для 10 класса.
Дано уравнение:
$5\sin(x+30^\circ)+4\cos x=1$
Требуется найти решение данного уравнения.
Решение:
Начнем с преобразования выражения $5\sin(x+30^\circ)$. Пользуясь формулой синуса суммы, преобразуем его следующим образом:
$5\sin(x+30^\circ)=5(\sin x \cos 30^\circ + \cos x \sin 30^\circ)=$
$=5\left(\dfrac{1}{2}\sin x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)$
Продолжим решение уравнения:
$5\sin(x+30^\circ)+4\cos x=1$
$5\left(\dfrac{1}{2}\sin x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)+4\cos x=1$
$\dfrac{5}{2}\sin x+\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\cos x+4\cos x=1$
Перенесем $4\cos x$ в левую часть уравнения:
$\dfrac{5}{2}\sin x+\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\cos x+4\cos x-1=0$
Заменим $\cos x$ на $\sin x$ с помощью тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:
$\dfrac{5}{2}\sin x+\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-\sin^2 x}+4\sqrt{1-\sin^2 x}-1=0$
Введем новую переменную $t = \sin x$. Тогда уравнение принимает вид:
$\dfrac{5}{2} t + \dfrac{5\sqrt{3}}{2}\sqrt{1 - t^2} + 4\sqrt{1 - t^2} -1 = 0$
Решим это уравнение методом подбора. Найдем корни уравнения $f(t) = \dfrac{5}{2} t + \dfrac{5\sqrt{3}}{2}\sqrt{1 - t^2} + 4\sqrt{1 - t^2} -1$ на интервале $[-1, 1]$. Для этого запишем значения функции на концах интервала:
$f(-1) = -\dfrac{5\sqrt{3}}{2} + 2 = -\dfrac{5\sqrt{3}}{2} + \dfrac{4}{2} = -\dfrac{5\sqrt{3} - 4}{2} < 0$
$f(1) = \dfrac{5\sqrt{3}}{2} + 2 - 1 = \dfrac{5\sqrt{3}}{2} + 1 > 0$
Таким образом, уравнение $f(t) = 0$ имеет корень на интервале $(-1,1)$. Пользуясь методом половинного деления, найдем его:
$f\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{5}{4} - \dfrac{5\sqrt{3}}{4} + 2\sqrt{3} - 1 < 0$
$f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{5}{4} + \dfrac{5\sqrt{3}}{4} + 2\sqrt{3} - 1 > 0$
$f\left(-\dfrac{1}{4}\right) = -\dfrac{5}{8} - \dfrac{5\sqrt{3}}{8} + \dfrac{5}{2}\sqrt{2} - 1 > 0$
$f\left(\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{5}{8} + \dfrac{5\sqrt{3}}{8} + \dfrac{5}{2}\sqrt{2} - 1 > 0$
$f\left(-\dfrac{1}{8}\right) = -\dfrac{5}{16} - \dfrac{5\sqrt{3}}{16} + \dfrac{5}{4}\sqrt{\dfrac{5}{2}} - 1 < 0$
$f\left(\dfrac{1}{8}\right) = \dfrac{5}{16} + \dfrac{5\sqrt{3}}{16} + \dfrac{5}{4}\sqrt{\dfrac{5}{2}} - 1 > 0$
Таким образом, корень уравнения $f(t) = 0$ находится на интервале $\left(\dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{4}\right)$. Повторяя процедуру, найдем первое приближение:
$t_1 = \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{8}$
Подставляя его в уравнение, получим:
$\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{3}{8} + \dfrac{5\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-\left(\dfrac{3}{8}\right)^2} + 4\sqrt{1-\left(\dfrac{3}{8}\right)^2}-1 \approx 0$
Чтобы получить большую точность решения, продолжим процедуру:
$t_2 = \dfrac{3}{8} - \dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{3}{8} - \dfrac{5\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-\left(\dfrac{3}{8}\right)^2} - 4\sqrt{1-\left(\dfrac{3}{8}\right)^2} + 1$
$t_3 = ...$
$t_4 = ...$
$t_5 = ...$
$\dots$
Полученные значения $t_n$ стремятся к искомому корню уравнения. Окончательным ответом будет значение угла $x$, найденное по формуле $x = \arcsin t$.
Ответ:
Угол $x = \arcsin t$, где $t \approx 0,3151$.