2sin^2(x) + cos(4x) = 0

Уравнение 2sin^2(x) + cos(4x) = 0 является тригонометрическим уравнением, которое можно решить несколькими способами.

Метод раскрытия скобок

Для начала раскроем косинус по формуле двойного угла:

cos(4x) = 2cos^2(2x) - 1

Подставляем полученное выражение в уравнение:

2sin^2(x) + 2cos^2(2x) - 1 = 0

Переносим единицу в правую часть уравнения и применяем формулу синуса двойного угла:

2(1 - cos^2(x)) + 2cos^2(2x) - 1 = 0

2cos^2(2x) - 2cos^2(x) - 1 = 0

Меняем переменную, заменяя cos^2(x) на t:

2(2t^2 - 1) - 2t - 1 = 0

4t^2 - 2t - 3 = 0

Полученное квадратное уравнение решаем по обычной формуле:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 4, b = -2, c = -3.

Итак, найдем значения t:

t1 = (-(-2) + √((-2)^2 - 4 * 4 * (-3))) / 2 * 4 ≈ 0,866

t2 = (-(-2) - √((-2)^2 - 4 * 4 * (-3))) / 2 * 4 ≈ -0,866

Заметим, что t не может быть отрицательным, т.к. это косинус квадрата угла, который не может принимать отрицательные значения. Выбираем t = 0,866 и находим значения cos(x):

cos^2(x) = t = 0,866

cos(x) ≈ ± 0,931

Используя формулу синуса и найденные значения cos(x), получаем значения sin(x) и ответы:

sin(x) ≈ ± 0,364

x1 ≈ 0,384π + 2πk

x2 ≈ 1,197π + 2πk

где k - любое целое число.

Метод использования графика

Уравнение 2sin^2(x) + cos(4x) = 0 можно решить, построив графики функций y1 = 2sin^2(x) и y2 = -cos(4x), и найти их точки пересечения.

Графики этих функций периодически повторяются, поэтому достаточно построить графики на интервале [0; 2π].

Из графика видно, что уравнение имеет ровно 4 решения на интервале [0; 2π]. Округляем полученные значения:

x1 ≈ 0,384π

x2 ≈ 1,197π

x3 ≈ 1,767π

x4 ≈ 2,580π

Ответы можно записать в виде:

x ≈ 0,384π + 2πk, x ≈ 1,197π + 2πk, x ≈ 1,767π + 2πk, x ≈ 2,580π + 2πk,

где k - любое целое число.

Вывод

Уравнение 2sin^2(x) + cos(4x) = 0 можно решить несколькими способами: методом раскрытия скобок и методом использования графика. В обоих случаях получены одинаковые ответы.